Давайте разберемся с каждым из предложений, чтобы правильно подобрать форму глагола.
Du … jetzt spazieren gehen.
Здесь нужно использовать глагол "dürfen" (мочь, иметь разрешение), который должен быть поставлен в форму, соответствующую субъекту "du" (ты). Правильная форма глагола "dürfen" в настоящем времени для "du" - darfst.
Итак, правильный вариант: Du darfst jetzt spazieren gehen.
Er … seiner Mutter zu Hause helfen.
Это предложение требует использования глагола "müssen" (должен). Субъект "er" (он) требует форму глагола "müssen" в третьем лице единственного числа. Правильная форма - muß (согласно старой орфографии, современный вариант - muss).
Итак, правильный вариант: Er muß seiner Mutter zu Hause helfen.
Dieses Mädchen … gut deutsch sprechen.
Здесь нужно использовать модальный глагол "können" (мочь, уметь), который должен соответствовать субъекту "dieses Mädchen" (эта девочка). Правильная форма - kann.
Итак, правильный вариант: Dieses Mädchen kann gut deutsch sprechen.
Эти глаголы являются модальными и часто используются в немецком языке для выражения возможности, необходимости или способности делать что-либо.